浮点数表示

★☆☆ 数据表示

🔥 高优先级

IEEE 浮点数表示的方法非常重要，每年选择题都必考，需要能够熟练计算 IEEE 浮点数的二进制和十进制之间的关联。

实数的二进制表示

实数在计算机中的存储遵循 IEEE 浮点数标准，但在这里为了方便理解 IEEE 标准，这里首先阐明一般 实数 在计算机中是如何存储的。

在这里 实数 分为两个部分存储：整数部分 和 小数部分 ，两个部分在逻辑上用 · 隔开。

比如对于以下 浮点数 的二进制表示：

dm​dm−1​⋯d1​d0​⋅d−1​d−2​⋯d−n​

其中每一位对应的数值如下表所示：

dm​dm−1​⋯d1​d0​d−1​d−2​⋯d−n​
2m2m−1⋯211/21/4⋯1/2n

上述二进制表示对应的数值为

b=i=−n∑m​2i×bi​

其中 bi​=0 或 bi​=1 ，表示第 i 为是 0 还是 1。

举例说明如何使用上述表示法计算 实数 ：

  • 101.112​ 对应的数值为 1×22+0×21+1×20+1×2−1+1×2−2=5.75
  • 1011.12​ 对应的数值为 8+0+2+1+21​=11.5

字面值转二进制

举个实际的例子，将 1.2 转换为二进制表示。

整数部分 1 的二进制是 1。
小数部分 0.2 的二进制表示是一个无限循环小数。通过不断乘以 2，可以得到近似的二进制：

  • 0.2 × 2 = 0.4 → 整数部分 0
  • 0.4 × 2 = 0.8 → 整数部分 0
  • 0.8 × 2 = 1.6 → 整数部分 1
  • 0.6 × 2 = 1.2 → 整数部分 1
  • 0.2 × 2 = 0.4 → 重复…

于是， 1.2 在二进制中近似为 1.0011001100110011...。

IEEE 浮点数表示

上述 浮点数 存储方式的缺点在于如果要表示比较大的数，就需要比较多的二进制位数，比如对于 5×2100 就需要 103 位。IEEE 表示 就解决了这个问题，在 IEEE 表示 中，浮点数 V 被表示为 V=(−1)s×M×2E ，其中 s,M,E 的含义如下：

  • s 为 符号位
  • M 为 乘法因子
  • E 为 指数部分

IEEE 754 标准 是定义浮点数表示和算术的国际标准，它定义了多种不同精度的浮点数格式，但最常见的是 单精度 single precesion （32 位）和 双精度 double precesion （64 位），浮点数分为 s（符号位 ）、exp（阶码 ）、frac（尾数 ）三个部分存储：

  • 1 位的 s 与上述计算公式中的 符号位 s 相同，位于浮点数二进制表示的 最高位 ，标志了浮点数的正负，如果 s=1 的话 V 是负数，如果 s=0 的话 V 为正数

  • k 位的 exp=ek−1​⋯e1​e0​ 用于计算 指数部分 E （ exp 为 unsigned 值，但不能为全 0 或全 1），其中 E=exp−Bias ， Bias=2k−1−1

  • 对于 单精度 浮点数

    • k=8 ， Bias=28−1−1=127
    • 1≤exp≤254
    • −126≤E≤127

  • 对于 双精度 浮点数

    • k=11 ， Bias=211−1−1=1023

    • 1≤exp≤2046

    • −1022≤E≤1023

    • n 位的 frac=0⋅fn−1​⋯f1​f0​ 用于计算 因子 M ，其中 M=1+frac ， frac 表示的小数计算方式见 实数的二进制表示

  • 对于 单精度 浮点数， n=23 ， M 的最大值为 2−2−23 ， M 最小值为 1

  • 对于 双精度 浮点数， n=52 ， M 的最大值为 2−2−52 ， M 最小值为 1

总结 单精度 和 双精度 浮点数 表示如下：

类型符号位 s阶码 exp尾数 frac总位数偏置值
单精度182332127
双精度11152641023

单精度 浮点数表示为：

(−1)s×1.frac×2exp−127

双精度 浮点数表示为：

(−1)s×1.frac×2exp−1023

总结 单精度 和 双精度 浮点数中各个字段的范围如下图所示：

异常值

注意 IEEE 浮点数 表示分为 Normalized Values （正常值）和 Denormalized Values （非正常值）以及特殊值 ，上节中提到的 IEEE 浮点数 计算方法只适用于 正常值 ，
正常值 的 阶码 （exp）不能为全 0 或全 1。

下图是 浮点数 各种类型的图示（以 单精度 为例）：

  • 非正常值 （Denormalized）的 阶码 全为 0
  • 无穷大 （Infinity）的 阶码 全为 1，尾数 位为 0
  • 非数字 （NaN，Not a Number）的 阶码 全为 1，尾数 位不为 0

需要注意的是 非正常值 的 浮点数 计算公式 与 正常值 不同：

value=(−1)sign×0.f×21−bias

注意这里的：

  • 没有隐含的 “1”，因为它是 非正规数 。
  • 指数固定为 1−bias （而不是 e−bias ，因为 阶码 是全 0）
  • 这是为了在非常接近 0 的地方保持精度连续性 （即从最小正规数向 0 过渡的“填充区”）

下表总结了给出了 浮点数 表示各种情况的有效值计算：

类型阶码（exp）尾数（fraction）有效值公式
正常值非全 0、非全 1f±1.f×2e−bias
非正常值全 0f （必须非 0，否则是 0 ）± 0.f×21−bias
±0全 0全 0±0
±∞全 1全 0±∞
NaN全 1非 0Not a Number（结果非法或未定义）

字面值转二进制

前文已经提到如果我们有 浮点数 的 IEEE 二进制表示 ，如何将其转化为实际的 浮点数 ，就是通过如下的公式：

(−1)s×1.frac×2exp−bias

还有一种常见的考题是给定我们一个 浮点数字面值 ，比如 2.25 ，然后让我们去反推它的二进制表示，这里有没有什么简便的解法呢？

最简便的方法还是反向转换 ，即将一个 浮点数 表示为 一点几几 （ 1.frac ）乘以二的多少次方（ 2n ）的格式，有这两部分可以分别计算出 阶码 和尾数 ，然后符号位 由数字的正负判断。

以 2.25 为例，如果我们想得到该 浮点数 的 单精度 表示：

2.25=1.125×21=89​×21=(1+81​)×21=(1+2−3)×21

由此可以计算出 浮点数 的各个部分：

  • 符号位 为 0
  • 阶码 为 1+127=128 ，二进制表示为 1000 0000B
  • 尾数 为 0010 0000 0000 ....

所以 浮点数 的二进制为 0100 0000 0001 0000 ...，十六进制为 40100000H 。

一般而言，试题只会考察这种没有精度损失的 浮点数二进制转换 ，对于有精度损失的情况，由于比较繁琐，基本不会考察，其 尾数 部分的计算与 一般实数字面值转二进制 相同。

表示精度

上述的例子是一个比较理想的例子， 2.25 可以精确地用 浮点数 表示。但在真实场景中，很多 实数 都是无法精确地用 浮点数 表示的。比如 1.2 这个数：

1.2=(1+51​)×21

其中 51​ 无法表示为若干个 2n1​ 之和，所以对于这种情况，我们只能尽量地去接近这个数。

若要理解如何接近这个数，我们首先要理解 精度 的概念。这里我们首先从简单的例子出发，假设 阶码 只有 3 位，那么这些 尾数 可以被精确表示：

i=0∑3​f×2i,f∈{0,1}

在数轴中对应 [0, 1] 区间中的 8 个点：

如果一个尾数的大小与这些点都不相同的话，则需要找一个临近的点来近似，这也是导致 精度 丢失的原因：尾数的二进制表示法无法精确地表示 [0, 1] 中的每一个 实数 ，对于无法精确表示的，只能去近似。

但是这种误差可以随着 尾数 位数的增加而不断减小，比如对于 单精度浮点数 表示，尾数 （frac）为 23 位，可以精确表示以下这些小数：

0,2231​,2232​,2233​,⋯,223223−1​,1

双精度浮点数 表示，尾数 为 52 位，可以精确表示以下这些小数：

0,2521​,2522​,2523​,⋯,252252−1​,1

所以 尾数位数越多 ，精度越高 ，用以近似表示某些 实数 时，误差更小。

注意

舍入 是在数值计算中将一个数字转换为特定精度的过程。由于计算机中的 浮点数 表示有限，许多数学运算结果不能完全精确地用 浮点数 表示，因此需要 舍入 来逼近这些结果。

浮点数加减

💡 低优先级

浮点数加减操作考察得不是很多，但是如果深入掌握了 IEEE 浮点数表示的原理的话，这个掌握其过程也不是很难。

浮点数 加减计算过程包含以下几个步骤：对阶 、尾数加减 、尾数规格化 。

  1. 对阶 ：为了进行加减运算，两个 浮点数 必须具有相同的指数，这里采用低阶向高阶对齐的原则，过程如下：
  • 比较两个浮点数的 指数 。
  • 将较小指数的浮点数的 尾数右移 ，直到两个指数相等。
  • 右移过程中，需要注意尾数的 精度损失 （尾数右移时可能会丢失低位精度）。
  1. 尾数加减 ：在指数对齐后，直接对两个 浮点数 的 尾数 进行加减。
  • 由于尾数已经对齐，可以直接进行 加减操作 。
  • 根据操作结果可能需要处理进位或借位。
  1. 尾数规格化 ：确保结果符合标准化浮点数的格式，即尾数以 1 开头。
  • 如果结果尾数不符合 1.xxxx 格式，则需要进行 规格化调整 。
  • 左移尾数并相应减少指数，或右移尾数并相应增加指数。
  • 规格化后，可能还需要进行 舍入 ，以符合尾数的位数限制。
    • 根据舍入模式（如“向偶数舍入”、“向零舍入”等）完成必要操作。

在 对阶 和 尾数规格化 的过程中，由于可能存在 尾数 右移，所以可能会导致 精度缺失 。
因为 IEEE 浮点数尾数的位数是有限的，如果右移的过程中尾数中最右边的 1 被清除，就会导致 精度缺失 。

举一个实际的例子来说明一下，假设 A=1.625×23=1.1012​×23 ， B=1.75×21=1.112​×21 ，在计算 A+B 时，使用以下步骤：

  1. 对阶 ：低位向高位， B=0.01112​×23 。
  2. 尾数相加 ： A+B=(1.1012​+0.01112​)×23=10.00012​×23
  3. 尾数规格化 ： 10.00012​×23=1.00001×24

相关笔记

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