整数的表示

★☆☆ 数据表示

🔥 高优先级

本章是每年必考的重点，补码 、有符号数 和 无符号数 每年都会在选择题考查，也会在大题直接或间接考查，并且本章是组成原理的基础，必须 完全掌握 。

BCD 码

BCD （Binary-Coded Decimal）码是一种 二进制编码方法 ，用于表示 十进制数字 。每个十进制数字（0-9）都使用 四位二进制数字 表示。

BCD 码的基本思路是 单独表示每个十进制数字的二进制值 ，而不是像传统的二进制数系统那样对整个数字进行编码。例如，在传统的二进制编码中，数字"19"会表示为 10011，但在 BCD 中，它被表示为两个独立的数字：“0001”（对应于 1）和“1001”（对应于 9），因此整个表示为“0001 1001”。

0 - 0000    1 - 0001    2 - 0010
3 - 0011    4 - 0100    5 - 0101
6 - 0110    7 - 0111    8 - 1000
9 - 1001

BCD 编码在某些应用中是很有用的，特别是在需要与 十进制界面 进行交互的地方，如 数字显示 或某些早期的计算机系统。尽管它不如 纯二进制编码 效率高，但它简化了与十进制数据的转换过程。

整数的表示

在介绍整数的不同表示之前，我们首先要定义清楚不同的名词，否则会造成极大的概念混淆。

蓝色字体表示的类型之间可以相互转换

在日常生活中，我们使用十进制表示数字，并通过符号（如 + 和 -）表示正负。这种用十进制表达的数字也叫做 字面值 。

而计算机以二进制形式存储数据，补码、原码、无符号数 等只是 对二进制位的一种解释方式 ，它们决定了同一组二进制位所代表的实际数值。

在实际的计算机中，没有采用 原码 存储数据的，具体原因后面会谈到到。对于计算机中存储的数字来说，它的二进制只可能是 有符号数 （signed） 或者 无符号数 （unsigned） 这两种情况。

无符号数

无符号数 （unsigned number） 是计算机中一种整数类型，只能表示 非负数 （包括 0 和正整数），不包含负数。

纯二进制表示

在非负数中，数字中的第 n 位的大小就是 2n 。

对于一个 n 位 无符号数 U ，假设它的第 i 位示为 bi​ ，则该数字的二进制表示为 Ubinary​=bn−1​⋯b1​b0​ ，对应的十进制数为：

Udecimal​=i=0∑n−1​2i⋅bi​

纯二进制表示范围

根据以上公式可知，一个 n 位纯二进制表示的：

  • 最小值 ： 0
  • 最大值 ： 2n−1
  • 表示范围 ： [0,2n−1]

注意

需要注意的是，无符号数 就是没有符号的二进制表示，它不像 有符号数 的表示，有一个 补码 这个专有名词。但是我们一般可以叫它 纯二进制 或 无符号数二进制表示 。

二进制 → 十进制

这里为了方便说明如何将 unsigned 转化为 十进制字面值 ，采用 8 位 无符号数 进行说明，其中每一位表示的实际大小如下表所示：

第 7 位第 6 位第 5 位第 4 位第 3 位第 2 位第 1 位第 0 位
27=12826=6425=3224=1623=822=421=220=1

  • 10000001 对应的值为 128+1=129
  • 10001001 对应的值为 128+8+1=137
  • 01000001 对应的值为 64+1=65

在现代 64 位计算机中，unsigned 是 32 位非负数。也可以使用 uint16_t 表示 16 位非负数、uint32_t 表示 32 位非负数、uint64_t 表示 64 位非负数。

十进制 → 二进制

将 十进制字面值 转化为 无符号数 的方法就是使用 Udecimal​=∑i=0n−1​2i⋅bi​ 进行反向转换。

如果数字不太复杂，可以利用直觉直接观察，将一个数字转化为若干个 2 的 n 次方之和（1, 2, 4, 8 …）。比如 73=64+8+1=26+23+20 ，如果该数字为 8 位的话，那么该十进制对应的二进制就是 01001001。

第二种方法稍微麻烦点，就是充当人脑计算机，采用 除 2 取余法 逐步计算余数：

73 ÷ 2 = 36 ... 1
36 ÷ 2 = 18 ... 0
18 ÷ 2 = 9  ... 0
9 ÷ 2 = 4   ... 1
4 ÷ 2 = 2   ... 0
2 ÷ 2 = 1   ... 0
1 ÷ 2 = 0   ... 1

接下来将余数进行逆序重排得到二进制数：1001001，因为是 8 位数，所以在剩下的高位全部填上 0，得到结果 01001001 。

总结两种转换方式如下图：

有符号数

在程序中使用 short、int、long 定义的整形变量就是 有符号数 （signed），有符号数使用 补码（Two’s complement） 进行表示。

补码表示

有符号数 使用的 补码 与 无符号数 使用的 纯二进制 表示方式基本相同，除了最高位。对于一个 n 位补码，其最高位为 −2n−1 是一个负数，而不是 2n−1 。

对于一个 n 位 有符号数 S ，假设它的第 i 位表示为 bi​ ，则该数字的二进制表示为 Sbinary​=bn−1​⋯b1​b0​ ，对应的十进制数为：

Sdecimal​=i=0∑n−2​2i⋅bi​−2n−1⋅bn−1​

补码的表示范围

根据以上公式可知，一个 n 位 补码 的：

  • 最小值（最负数） ： −2n−1
  • 最大值（最正数） ： 2n−1−1
  • 表示范围 ： [−2n−1,2n−1−1]

补码的命名

那么 补码 的命名为什么叫 Two’s Complement 呢？

对于表示范围内的正数，补码 和 纯二进制表示 的二进制表示是相同的；但是对于负数，两者的二进制表示不同，这也是它名称的来源。

Two’s Complement 中的 Two 强调二进制系统；比如十进制中有 10’s complement（十的补码），那么在二进制中自然就是 2’s complement 。

Complement 指 补数 的数学概念。在数学中，一个数 加上 它的补数 等于某个基数的幂。比如对于数字 x ，其在二进制 n 位补码表示中的补数定义如下：

x 的二进制补数=2n−x

所以如果给定了一个 十进制字面值 ，我们可以先计算其 纯二进制表示 ，再进行二进制减法，将 2n 减去这个数得到相应的 补码表示 。

比如假设给定一个十进制 D ，首先我们可以通过 除 2 取余法 计算其 纯二进制表示 Ubinary​=un−1​⋯u1​u0​ ，然后再用 2n 减去这个数：

以上二进制减法等同于对 U 进行 取反加一 运算，即 D 的 补码 S 可以被表示为：

S=2n−U=Uˉ+1

二进制 → 十进制

这里为了方便说明，以 8 位 补码 为例说一下如何将 补码表示的二进制 转化为实际十进制数字。

首先，8 位补码中的每一位的大小为：

第 7 位第 6 位第 5 位第 4 位第 3 位第 2 位第 1 位第 0 位
−27=−12826=6425=3224=1623=822=421=220=1

例子：

  • 10000001 对应的值为 −128+1=−127
  • 10001001 对应的值为 −128+8+1=−119
  • 01000001 对应的值为 64+1=65

以 8 位二进制数为例：

  1. 对于正数，例如 +5，其二进制表示为 00000101，补码 也是 00000101。
  2. 对于负数，例如 -5，首先写出 5 的二进制表示：00000101。
  • 按位取反得到：11111010
  • 加 1 得到：11111011
  • 所以，-5 的 补码 是 11111011。
十进制 → 二进制

这里仅讨论如何将一个 十进制负数 转化为 补码二进制 ，因为对于非负数，补码 的二进制表示和 纯二进制 相同。

一种比较简单的转换方法就是基于 Sdecimal​=∑i=0n−2​2i⋅bi​−2n−1⋅bn−1​ 这个公式进行直接观察。

比如 −73=−128+55=−128+32+16+4+2+1=−27+25+24+22+21+20 ，对应的 补码 为 1011 0111 。

另一种就是先计算该数字绝对值的 纯二进制表示 ，再将其通过 取反加一 的方式转化为 补码 。

比如通过第二种方式将 -73 转为 补码 ：

  1. -73 是负数，其绝对值为 73。
  2. 通过 除 2 取余法 得到其 无符号表示 为 0100 1001。
  3. 取反：1011 0110。
  4. 加一：1011 0111。

结果为 1011 0111 。

优点

使用 补码 可以使得 加法、减法和负数的表示 变得简单和统一。比如给定两个数字 A 和 B，我们想要计算 C = A + B。A + B 由硬件加法器得到的二进制结果可以直接作为 C 的二进制表示。

补码 的设计使得负数的加法变得简单。当使用 补码 表示时，可以直接将两个数相加，即使其中一个数是负数，而不需要进行任何特殊处理。这简化了计算机硬件的设计。

原码

💡 低优先级

不会考查，因为现代计算机没有直接

原码（Sign-Magnitude） 是一种简单的方式来表示二进制中的 有符号整数 。在这种表示法中，数字的 最高位 （最左边的位）用于表示符号，其余的位表示数字的大小。通常，符号位为 0 表示正数，而 1 表示负数。

表示方法

原码的表示方法：

  1. 正数的原码：最高位 为 0，其余位表示这个数的绝对值的二进制形式。
  2. 负数的原码：最高位 为 1，其余位表示这个数的绝对值的二进制形式。
  3. 零的原码：符号位可以是 0（表示 +0）或 1（表示 -0），但在实际应用中，通常只使用一个零，即符号位为 0。

举例（以 8 位二进制数为例）：

  • +25 的原码是：0 0011001
  • -25 的原码是：1 0011001
缺点
  • 存在 正零 和 负零 的表示。
  • 在进行算术运算时，正数和负数需要不同的处理，这使得硬件设计变得复杂。

由于上述的缺点，原码 并不是计算机中最常用的表示法。在现代计算机中，补码 是更常用的方式来表示 有符号整数 ，因为它简化了算术运算的处理，并且没有 +0 和 -0 的冗余表示。

相关笔记

  • 概论
  • 计算机性能指标
  • 计算机系统层次结构
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