🏷️ 知识点：入栈出栈序列

已知一个栈的进栈序列是 1、2、3、…、n，其输出序列为 p₁、p₂、p₃、…、pₙ，若 p₁=3，则 p₂ 为（ ）。

A. 2 或 4、5、…、n 都有可能 B. 可能是 1 C. 一定是 2 D. 只可能是 2 或 4

栈 入栈出栈序列

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正确答案：A

已知进栈序列为1,2,3,…,n，且第一个出栈元素p₁=3。 根据栈的后进先出特性，为了使得3第一个出栈，操作序列必须是：先将1和2依次进栈，然后将3进栈并立即出栈。 此时栈中剩余元素为1和2（2在栈顶），且后续元素4,5,…,n尚未进栈。

对于第二个出栈元素p₂，存在两种可能：一是直接出栈当前栈顶元素2，则p₂=2； 二是暂不出栈2，而是将后续元素4,5,…,n依次进栈，并在进栈过程中或进栈后出栈某个元素，此时p₂可以是4,5,…,n中的任意一个。 需要注意的是，p₂不可能是1，因为1位于栈底，必须等待其上方所有元素出栈后才能出栈，而p₂是第二个出栈元素，若不出栈2则无法触及1。 因此，p₂可能是2或4,5,…,n中的任意值，与选项A相符。

假设栈的容量为 3，入栈的序列为 1,2,3,4,5，则出栈的序列可能为（ ）。

A. 3,2,1,5,4 B. 1,5,4,3,2 C. 5,4,3,2,1 D. 4,3,2,1,5

栈 入栈出栈序列

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正确答案：A

栈的容量为 3，入栈序列固定为 1,2,3,4,5。

出栈序列必须符合栈的后进先出规则，且受容量限制。

对于选项 A（3,2,1,5,4）：

• 先入栈 1,2,3（栈满），出栈 3,2,1，栈空。 >
• 再入栈 4，入栈 5，出栈 5,4。 > 操作过程中栈内元素数始终不超过 3，且符合出栈序列，因此可能。 >

对于选项 B（1,5,4,3,2）：

• 出栈 1 后，需出栈 5，但 5 尚未入栈。 > 入栈 2,3,4 后栈满，无法直接入栈 5； > 若先出栈元素则破坏序列顺序。 >
• 要使 5 先出栈，需在 5 入栈时栈中包含 4,3,2，但容量仅为 3，无法同时容纳 4 个元素，因此不可能。 >

对于选项 C（5,4,3,2,1）：

• 需先出栈 5，但 5 最后入栈。 > 入栈 1,2,3 后栈满，入栈 4 需先出栈元素，而出栈会破坏序列以 5 开始，因此不可能。 >

对于选项 D（4,3,2,1,5）：

• 需先出栈 4，但入栈 1,2,3 后栈满，入栈 4 需先出栈元素，而出栈会导致序列首元素不为 4，因此不可能。 >

综上，只有选项 A 可能。 >

6 个元素以 6、5、4、3、2、1 的顺序进栈，下列不合法的出栈序列是（ ）。

A. 5, 4, 3, 6, 1, 2 B. 4, 5, 3, 1, 2, 6 C. 3, 4, 6, 5, 2, 1 D. 2, 3, 4, 1, 5, 6

栈 入栈出栈序列

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正确答案：C

栈是后进先出（LIFO）的数据结构，元素以固定顺序 6、5、4、3、2、1 依次进栈。

合法的出栈序列必须满足：在模拟进栈和出栈过程中，每次出栈的元素要么是栈顶元素，要么可以通过压入剩余进栈元素后成为栈顶元素。

对于选项 A（5、4、3、6、1、2）：模拟过程可行，例如先压入 6、5，出栈 5； 压入 4，出栈 4； 压入 3，出栈 3； 出栈 6； 压入 2、1，出栈 1，出栈 2。 序列合法。

对于选项 B（4、5、3、1、2、6）：模拟过程可行，例如压入 6、5、4，出栈 4； 出栈 5； 压入 3，出栈 3； 压入 2、1，出栈 1； 出栈 2； 出栈 6。 序列合法。

对于选项 C（3、4、6、5、2、1）：模拟时，先压入 6、5、4、3，出栈 3； 出栈 4； 此时栈顶为 5，但下一个出栈元素是 6。 由于 6 在栈底，被 5 压住，必须先出栈 5 才能出栈 6，但序列中 6 在 5 之前，无法实现。 因此序列不合法。

对于选项 D（2、3、4、1、5、6）：模拟过程可行，例如压入 6、5、4、3、2，出栈 2； 出栈 3； 出栈 4； 压入 1，出栈 1； 出栈 5； 出栈 6。 序列合法。

综上，不合法的出栈序列是选项 C。

若元素a,b,c,d,e,f 依次进栈，允许进栈、退栈操作交替进行，但不允许连续三次进行退栈操作，则不 可能得到的出栈序列是()。

A.d,c,e,b,f,a B.c,b,d,a,e,f C.b,c,a,e,f,d D.a,f,e,d,c,b

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正确答案：D

本��考查 入栈出栈序列 。

选项 A 可由 in,in,in,in,out,out,in,out,out,in,ot,out 得到；

选项 B 可由 in,in,in,out,out,in,out,out,in,out,in,out 得到；

选项 C 可由 in,in,out,in,out,out,in,in,out,in,out,out 得到；

选项 D 可由 in,out,in,in,in,in,in,out,out,out,out,out 得到， 但题意要求不允许连续三次退栈操作，故 D 不可能得到。

【另解】先进栈的元素后出栈，进栈顺序为 a,b,c,d,e,f，故连续出栈时的序列必然是按字母表逆序的，若出栈序列中出现了长度大于等于 3 的连续逆序子序列，侧为不符合要求的出栈序列。

若已知一个栈的入栈序列是 1,2,3,4。其出栈序列为 p1,p2,p3,p4，则 p2,p4 不可能是（ ）。

A. 2、4 B. 2、1 C. 4、3 D. 3、4

入栈出栈序列 栈

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正确答案：C

栈的入栈序列为 1,2,3,4，出栈序列需符合栈的后进先出规则。 通过分析所有可能的出栈序列（共 14 种），并检查各选项中 p2（第二个出栈元素）和 p4（第四个出栈元素）的组合是否存在合法的序列对应。

• 选项 A（2、4）：存在合法序列如 1,2,3,4，其中 p2=2、p4=4，故可能。
• 选项 B（2、1）：存在合法序列如 3,2,4,1，其中 p2=2、p4=1，故可能。
• 选项 C（4、3）：不存在任何合法出栈序列同时满足 p2=4 且 p4=3。 例如，序列 1,4,2,3 看似满足，但实际上不合法，因为在出栈 4 后，栈中剩余 2 和 3 且 3 在栈顶，必须优先出栈 3，无法直接出栈 2，因此无法实现 p4=3。
• 选项 D（3、4）：存在合法序列如 1,3,2,4，其中 p2=3、p4=4，故可能。

综上，p2、p4 不可能是 4、3，对应选项 C。

元素 a，b，c，d，e 依次进入初始为空的栈中，若元素进栈后可停留、可出栈，知道所有元素都出栈，则在所有可能的出现序列中，以元素 d 开头的序列个数是（ ）。

入栈出栈序列

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

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正确答案：B

本题考察 入栈出栈序列 ，d 为第 1 个出栈元素，则 d 之前的元素必定是进栈后在栈中停留。因而出栈顺序必为 d_c_b_a_，e 的顺序不定，在任一 “_” 上都有可能，一共有 4 种可能。

一个栈的入栈序列为1,2,3,⋯,n，其出栈序列是p1,p2,p3,⋯,pn，若p2=3，则p3可能取值的个数是（）。

入栈出栈序列

A.n−3

B.n−2

C.n−1

D.无法确定

[tag_link] 正确答案：C本题考察 入栈出栈序列 。显然，3之后的4,5,⋯,n都是p3可取的数（一直进栈直到该数入栈后马上出栈）。接下来分析 1 和 2：p1只能是3之前入栈的数（可能是 1 或 2），当p1=1时，p3可取2；当p1=2时，p3可取1，故p3可能取除3之外的所有数，个数为n−1。

先序序列为 a,b,c,d 的不同二叉树的个数是（）。

入栈出栈序列 卡特兰数

A. 13 B. 14 C. 15 D. 16

[tag_link] 正确答案：B本题考察 卡特兰数 。根据二叉树前序遍历和中序遍历的递归算法中递归工作栈的状态变化得出：前序序列和中序序列的关系相当于以前序序列为入栈次序，以中序序列为出栈次序。因为前序序列和中序序列可以唯一地确定一棵二叉树，所以题意相当千“以序列 a, b, c, d 为入栈次序，则出栈序列的个数为多少“，对于 n 个不同元素进栈，出栈序列的个数$(n+1)/C_{2n}^n$=14。

下列关于栈的叙述中，错误的是（ ）。

I. 采用非递归方式重写递归程序时必须使用栈

II. 函数调用时，系统要用栈保存必要信息

III. 只要确定了入栈次序，即可确定出栈次序

IV. 栈是一种受限的线性表，允许在其两端进行操作

栈 入栈出栈序列

A. 仅 I B. 仅 I、II、III C. 仅 I、III、IV D. 仅 II、III、IV

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正确答案：C

I 的反例：计算斐波拉契数列迭代实现只需要一个循环即可实现。 III 的反例：入栈序列为 1、2, 进行如下操作 PUSH、PUSH、POP、POP，出栈次序为 2、1；进行如下操作 PUSH、POP、PUSH、POP，出栈次序为 1、2。 IV，栈是一种受限的线性表，只允许在一端进行操作。 因此 II 正确。

现有队列 Q 与栈 S，初始时 Q 中的元素依次是 1,2,3,4,5,6（1 在队头），S 为空。若仅允许下列 3 种操作：

① 出队并输出出队元素

② 出队并将出队元素入栈

③ 出栈并输出出栈元素

则不可能得到的输出序列是（ ）。

入栈出栈序列

A. 1，2，5，6，4，3 B. 2，3，4，5，6，1 C. 3，4，5，6，1，2 D. 6，5，4，3，2，1

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正确答案：C

本题考察 入栈出栈序列 ：A 的操作顺序：①①②②①①③③。B 的操作顺序：②①①①①①③。D 的操作顺序：②②②②②①③③③③。对于 C：首先输出 3，说明 1 和 2 必须先依次入栈，而此后 2 肯定比 1 先输出，因此无法得到 1,2 的输出顺序。

对空栈 S 进行 Push 和 Pop 操作入栈序列 a,b,c,d,e 经过 Push,Push,Pop,Push,Pop,Push,Push,Pop 操作后得到的出栈序列是（ ）。

入栈出栈序列

A. b,a,c B. b,a,e C. b,c,a D. b,c,e

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正确答案：D

按题意，出入栈操作的过程如下：

给定有限符号集 S,|n 和 out 均为S 中所有元素的任意排列。对于初始为空的栈 ST, 下列叙述中， 正确的是()。

A. 若|n是 ST 的入栈序列，则不能判断 out 是否为其可能的出栈序列

B. 若 out 是 ST 的出栈序列，则不能判断|n 是否为其可能的入栈序列

C. 若|n是 ST 的入栈序列，out 是对应|n的出栈序列，则|n与 out 一定不同

D. 若 |n 是 ST 的入栈序列，out 是对应|n的出栈序列，则n|与 out 可能互为倒序

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正确答案：D

参考 入栈出栈序列 ，如果给定一个入栈序列，我们可以得到其所有可能的出栈序列，所以当给定一个出栈序列时，我们可以判断其是否正确，所以 A、B、C 均为错误选项。

将 5 个字母 “ooops” 按此顺序进栈，则有（　）种不同的出栈顺序可以仍然得到 “ooops”。

A. 1 B. 3 C. 5 D. 6

栈 入栈出栈序列

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正确答案：C

将5个字母“ooops”按顺序进栈，即进栈序列为o、o、o、p、s。 要求出栈序列仍然为“ooops”，即出栈顺序为o、o、o、p、s。 由于三个o相同，不同的出栈顺序指的是三个o的个体出栈顺序不同，但最终输出的字符串相同。

设三个o分别为A、B、C（按进栈顺序），p为D，s为E。 出栈序列必须满足前三个为A、B、C的某种排列，第四个为D，第五个为E。 三个o的排列共有6种：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。 需要检查每种排列是否满足栈的合法性（即能否通过合理的进栈和出栈操作实现）。

1. ABCDE：合法，可每进栈一个元素后立即出栈。
2. ACBDE：合法，A进栈后出栈，B进栈后不出，C进栈后出栈C，再出栈B。
3. BACDE：合法，A进栈后不出，B进栈后出栈B，再出栈A，然后C、D、E依次进栈出栈。
4. BCADE：合法，A进栈后不出，B进栈后出栈B，C进栈后出栈C，再出栈A。
5. CABDE：不合法，因为C首先出栈后，栈中剩余A和B（B为栈顶），下一个需要出栈A，但A不在栈顶，无法直接出栈。
6. CBADE：合法，A进栈后不出，B进栈后不出，C进栈后出栈C，再出栈B，最后出栈A。

因此，只有5种合法的出栈顺序，对应选项C。

（9 分）对于一个堆栈，若其入栈序列为 $1,2,3,\cdots ,n$ ，不同的出入栈操作将产生不同的出栈序列。其出栈序列的个数正好等于结点个数为 $n$ 的二叉树的个数，且与不同形态的二叉树一一对应。请简要论述一种从堆栈输入（固定为 $1,2,3,\cdots ,n$ ）输出序列对应一种二叉树形态的方法，并以入栈序列 $1,2,3$ （即 $n=3$ ）为例加以说明。

入栈出栈序列

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**【答案】** 将固定入栈序列 $1,2,3,\cdots ,n$ 视为二叉树的前序遍历序列，而将出栈序列视为同一二叉树的中序遍历序列。由于二叉树的前序遍历和中序遍历可以唯一确定二叉树的结构，因此每个合法的出栈序列对应一种二叉树形态。

**【解析】** 对于入栈序列 $1,2,\cdots ,n$ ，其出栈序列的个数等于结点个数为 $n$ 的二叉树的个数，即第 $n$ 个卡特兰数。这一一对应可通过二叉树遍历序列建立：入栈序列固定为前序遍历序列，出栈序列作为中序遍历序列。具体地，前序遍历序列确定了根结点的访问顺序，中序遍历序列确定了左子树和右子树的划分，从而唯一重建二叉树。

以 $n=3$ 为例，入栈序列为 $1,2,3$ ，作为前序遍历序列。合法的出栈序列有 $5$ 种，分别作为中序遍历序列，重建二叉树如下：

• 出栈序列 $1,2,3$ ：前序 $1,2,3$ ，中序 $1,2,3$ ，重建得二叉树为根结点 $1$ 的右孩子为 $2$ ， $2$ 的右孩子为 $3$ 。
• 出栈序列 $1,3,2$ ：前序 $1,2,3$ ，中序 $1,3,2$ ，重建得根结点 $1$ 的右孩子为 $2$ ， $2$ 的左孩子为 $3$ 。
• 出栈序列 $2,1,3$ ：前序 $1,2,3$ ，中序 $2,1,3$ ，重建得根结点 $1$ 的左孩子为 $2$ ，右孩子为 $3$ 。
• 出栈序列 $2,3,1$ ：前序 $1,2,3$ ，中序 $2,3,1$ ，重建得根结点 $1$ 的左孩子为 $2$ ， $2$ 的右孩子为 $3$ 。
• 出栈序列 $3,2,1$ ：前序 $1,2,3$ ，中序 $3,2,1$ ，重建得根结点 $1$ 的左孩子为 $2$ ， $2$ 的左孩子为 $3$ 。

这五种二叉树形态恰好对应所有合法的出栈序列，验证了一一对应关系。