设有 6 个有序表 A、B、C、D、E、F,分别含有 10、35、40、50、60 和 200 个数据元素,各表中元素按升序排列。要求通过 5 次两两合并,将 5 个表最终合并成 1 个升序表,并在最坏情况下比较的总次数达到最小。请回答下列问题。
(1) 给出完整的合并过程,并求出最坏情况下比较的总次数。
(2) 根据你的合并过程,描述N(N≥2)个不等长升序表的合并策略,并说明理由。
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1)对于长度分别为 m, n 的两个有序表的合并,最坏情况下是一直比较到两个表尾元素,比较次数为 m +n-1 次。故最坏情况的比较次数依赖于表长,为了缩短总的比较次数,根据哈夫曼树(最佳归并树)思想的启发,可采用如图所示的合并顺序。根据上图中的 哈夫曼树,6 个序列的合并过程为:第 1 次合并:表 A 与表 B 合并,生成含有 45 个元素的表 AB ;第 2 次合并:表 AB 与表 C 合并,生成含有 85 个元素的表 ABC;第 3 次合并:表 D 与表 E 合并,生成含有 110 个元素表 DE;第 4 次合并:表 ABC 与表 DE 合并,生成含有 195 个元素的表 ABCDE;第 5 次合并:表 ABCDE 与表 F 合并,生成含有 395 个元素的最终表。由上述分析可知,最坏清况下的比较次数为:第 1 次合并,最多比较次数 = 10+35-1 = 44;第 2 次合并,最多比较次数 = 45+40-1 = 84;第 3 次合并,最多比较次数 = 50+60-1 = 109;第 4 次合并,最多比较次数 = 85+110-1 = 194;第 5 次合并,最多比较次数 = 195+200-1 = 394。故比较的总次数最多为:44+84+109+194+394 = 825。
2)各表的合并策略是:在对多个有序表进行两两合并时,若表长不同,则最坏情况下总的比较次数依赖于表的合并次序。可以借用哈夫曼树的构造思想,依次选择最短的两个表进行合并,可以获得最坏情况下最佳的合并效率。【评分说明】①对于用类似哈夫曼树(或最佳归并树)思想进行合并,过程描述正确,给 5 分。按其他策略进行合并,过程描述正确,给 3 分。②正确算出与合并过程一致的总比较次数,给 2 分。若计算过程正确,但结果错误,可给 1 分。③考生只要说明采用的是类似哈夫曼树(或最佳归并树)的构造方法作为合并策略,即可给 3 分。如果采用其他策略,只要能够完成合并,给 2 分。
