已知f(n)=∑i=0n 2i=2n+1−1=11⋯1 B，计算f(n)的 C 语言函数 f1 如下：
int f1(unsigned n) {
int sum=1, power=1;
for(unsigned i=0; i<= n -1; i ++) {
power * = 2;
sum += power;
}
return sum ;
}
将 f1 中的 int 都改为 float，可得到计算 f(n) 的另一个函数 f2。假设 unsigned 和 int 型数据都占 32 位，float 采用 IEEE754 单精度标准。请回答下列问题。
(1) 当 n=0 时，f1 会出现死循环，为什么？若将 f1 中的变量 i 和 n 都定义为 int 型，则 f1 是否还会出现死循环？为什么？
(2) f1(23) 和 f2(23) 的返回值是否相等？机器数各是什么（用十六进制表示）？
(3) f1(24) 和 f2(24) 的返回值分别为 33554431 和 33554432.0，为什么不相等？
(4) f(31)=232−1，而 f1(31) 的返回值却为 -1，为什么？若使 f1(n) 的返回值与 f(n) 相等，则最大的 n 是多少？
(5) f2(127) 的机器数为 7F80 0000H，对应的值是什么？若使 f2(n) 的结果不溢出，则最大的 n 是多少？若使 f2(n) 的结果精确（无舍入），则最大的 n 是多少？
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1）由于i和n是 unsigned 型，故i≤n−l是无符号数比较，n=0时，n−1的机器数为全1，值是232−1，为 unsigned 型可表示的最大数，条件i≤n−1永真，因此出现死循环。（2 分）若i和n改为 int 类型则不会出现死循环。（1 分）因为i≤n−1是带符号整数比较，n=0时，n−1的值是−1，当i=0时条件i≤n−1不成立，此时退出 for 循环。（1 分）
2）f1(23) 与 f2(23) 的返回值相等。（1 分）f(23) =223+1−1=224−1，它的二进制形式是24个1。int 占32位，没有溢出。float 有1个符号位，8个指数位，23个底数位，23个底数位可以表示24位的底数。所以两者返回值相等。f1(23) 的机器数是 00FF FFFFH。（1 分）f2(23) 的机器数是 4B7F FFFFH。（1 分）显而易见前者是24个1，即00000000111111111111111111111111(2)，后者符号位是0，指数位为23+12710 =100101102，底数位是111111111111111111111112。
3）当 n=24 时，f(24) = 1 1111 1111 1111 1111 1111 1111 B，而 float 型数只有 24 位有效位，舍入后数值增大，所以 f2(24) 比 f1(24) 大 1。（1 分）【评分说明】只要说明 f2(24) 需舍入处理即可给分。
4）显然 f(31) 已超出了 int 型数据的表示范围，用 f1(31) 实现时得到的机器数为 32 个 1，作为 int 型数解释时其值为 -1，即 f1(31) 的返回值为 -1。（1 分）因为 int 型最大可表示数是 0 后面加 31 个 1，故使 f1(n) 的返回值与 f(n) 相等的最大 n 值是 30。（1 分）【评分说明】对于第二问，只要给出 n=30 即可给分。
5）IEEE754 标准用“阶码全 1、尾数全 0”表示 无穷大。2 返回值为 f1oat 型，机器数 7F800000H 对应的值是+∞。（1 分）当 n=126 时，f(126) =2127−1=1.1…1×2126，对应阶码为 127+126=253，尾数部分舍入后阶码加 1，最终阶码为 254，是 IEEE754 单精度格式表示的最大阶码。故使 2 结果不溢出的最大 n 值为 126。（1 分）当 n=23 时，f(23) 为 24 位 1，f1oat 型数有 24 位有效位，所以不需舍入，结果精确。故使 f2 获得精确结果的最大 n 值为 23。（1 分）【评分说明】对于第二问，只要给出 n=23，即可给分。对于第三问，只要给出 n=126，即可给分。